みなさん、こんにちは！浦元です。
昨日は、外接円の直径と向かい合うペアを結ぶ「正弦定理」をマスターしましたね。
今日は、正弦定理と並ぶ図形問題の主役……
【余弦定理（よげんていり）】を完全攻略しましょう！
“余弦定理とは、中学で習った「三平方の定理」をあらゆる三角形に拡張したもの！”
📐 垂線を下ろして三平方の定理を使うだけ！
三角形 ABC の頂点 C から底辺 AB に垂線 CH を下ろしてみます。
火曜日に学んだ「辺の長さを抜き出す技」を使うと、各パーツの長さが一瞬で分かります。
右側にできた直角三角形 BCH に着目して、三平方の定理を使ってみましょう！
💡 直角三角形 BCH における三平方の定理
a² ＝ (高さ CH)² ＋ (底辺 HB)²
それぞれの長さを代入すると：
a² ＝ (b sin A)² ＋ (c － b cos A)²
a² ＝ b² sin²A ＋ c² － 2bc cos A ＋ b² cos²A
ここで b²(sin²A ＋ cos²A) ＝ b² × 1 ＝ b² とまとまるので……
a² ＝ b² ＋ c² － 2bc cos A
🌟 90°のときは三平方の定理そのもの！
もし角 A が 90° だったらどうなるでしょうか？
cos 90° ＝ 0 なので、後ろの「－ 2bc cos A」がキレイさっぱり消えて……
（中学で習った三平方の定理そのもの！）
つまり余弦定理とは、「90°以外の角でも三平方の定理を使えるようにした補正版」だったのです！
🔍 正弦定理と余弦定理の使い分け
・正弦定理を使うとき ➔ 「向かい合うペア（向かいの角と辺）」や「外接円の半径 R」が絡むとき！
・余弦定理を使うとき ➔ 「2辺とその間の角」や「3辺の長さ」が分かっているとき！
📌 本日のまとめ
- 余弦定理は「三平方の定理に角度の補正（－ 2bc cos A）がついたもの」！
- 2辺とその間の角から、向かいの辺を一発で求められる！
- 変形すれば「3辺の長さから角度（cos）を逆算する」こともできる！
これで今週の三角比講義（火・木・金・土）がすべて完了しました！
来週は、正弦定理・余弦定理を自在に操る「空間図形・測量問題の実戦パズル」へと進んでいきましょう！
コメント