皆さん、こんにちは！浦元です。
前回の「3次式・3変数の展開公式」は、頭の中でパズルとして組み立てられましたか？
第2節のテーマは「式の値」です。
与えられた文字の値を代入して計算する問題ですが、馬鹿正直にそのまま代入してはいけません。
数学をスマートに解くための強力な武器、「対称式（たいしょうしき）」の考え方を学びましょう！
Ⅰ. 「対称式」ってなに？
\(x\) と \(y\) のふたつの文字を入れ替えても、元の形と全く変わらない式のことを対称式といいます。
例えば、\(x^2 + y^2\) という式で、\(x\) と \(y\) を入れ替えると \(y^2 + x^2\) となり、元の式と同じになりますよね。
そして、対称式には絶対に知っておくべき「最大の秘密」があります。
それは、どんな対称式も、必ず \(x+y\) と \(xy\) だけで表すことができる、という秘密です！
この \(x+y\) と \(xy\) のふたつを、「基本対称式（きほんたいしょうしき）」と呼びます。
💡 浦元流・絶対に外せない「変形2大公式」
高校数学のあらゆる場面で登場する、超・重要変形です。丸暗記ではなく、展開公式から作り出す感覚を身につけましょう。
(1) 2乗の対称式：
\(x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy\)(2) 3乗の対称式：
\(x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)\)🌟 実際の入試問題を解いてみよう！
公式の威力を実感するために、具体的な問題に挑戦です。
【問題】
\(x = 2 + \sqrt{3}\) , \(y = 2 – \sqrt{3}\) のとき、次の式の値を求めなさい。
① \(x^2 + y^2\) ② \(x^3 + y^3\)
【浦元流の戦略】
そのまま代入すると、\((2 + \sqrt{3})^3\) などの地獄の計算が始まってしまいます。
まずは焦らずに、基本パーツ（和と積）を先に計算しましょう！
- 和： \(x + y = (2 + \sqrt{3}) + (2 – \sqrt{3}) = 4\)
- 積： \(xy = (2 + \sqrt{3})(2 – \sqrt{3}) = 2^2 – (\sqrt{3})^2 = 4 – 3 = 1\)
どうですか？ \(x + y = 4\) , \(xy = 1\) という、最高にシンプルな基本パーツが完成しましたね！
あとは、このパーツを先ほどの変形公式にポンと代入するだけです。
✅ 解答はこちら（クリックで開きます）
① \(x^2 + y^2\) の値
公式に \(x + y = 4\) , \(xy = 1\) を代入します。
\(x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy\)
\(= 4^2 – 2(1)\)
\(= 16 – 2 = 14\) ── (答)
② \(x^3 + y^3\) の値
同じように、3乗の公式へ代入します。
\(x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)\)
\(= 4^3 – 3(1)(4)\)
\(= 64 – 12 = 52\) ── (答)
🎯 今日のまとめ
「複雑な式の値の問題に出会ったら、まずは文字の入れ替えを試す。
対称式だと分かったら、直接代入は封印し、和（\(x+y\)）と積（\(xy\)）のパーツを作ってから料理する。」
この戦略を知っているだけで、計算の手間は劇的に減り、ミスもなくなります。
数学は「力技」ではなく「戦略」で解くもの。その面白さを、ぜひ実感してください！
明日の金曜日は、今週学んだ「展開」と「式の値」の総復習！
暗算力強化クイズ・問題編をお届けします。全問正解を目指して挑戦してくださいね！
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